Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan pada Pegas

Penjelasan tentang Simpangan, Kecepatan, dan Percepatan pada Pegas - Simpangan pada gerak harmonik sederhana dapat ditentukan melalui analogi sebuah titik yang bergerak melingkar beraturan. Kecepatan dan percepatan gerak harmonik sederhana merupakan turunan pertama dan kedua dari persamaan simpangan yang merupakan fungsi waktu.

1. Simpangan 

Gerak harmonik sederhana merupakan proyeksi titik P pada sumbu x.

Perhatikan gambar diatas. Sebuah partikel bergerak melingkar beraturan dengan jari-jari A dan kecepatan sudut ω. Pada saat t = 0, partikel berada di titik P, setelah t sekon berada di Q. Besarnya sudut yang ditempuh adalah:

(1)

Simpangan gerak harmonik sederhana dapat dianggap proyeksi titik P pada salah satu sumbu utamanya (sumbu y). Jika simpangan itu dinyatakan dengan sumbu y, maka:

(2)

dengan:

y = simpangan gerak harmonik sederhana (m)

A = amplitudo (m)

T = periode (s)

ω = kecepatan sudut (rad/s)

t = waktu (s)

Fase gerak harmonik menyatakan keadaan gerak dalam hubungannya dengan simpangan dan arah getar. Jika suatu gerak harmonik kembali ke simpangan dan arah semula, maka gerak harmonik itu telah kembali ke fase semula.

Dari persamaan (2) diperoleh:

Atau y = A . sin 2πφ, dengan φ adalah fase yang dituliskan dengan:

(3)

Dua titik atau kedudukan dikatakan sefase jika beda fase sama dengan nol, dan dikatakan berlawanan fase jika beda setengah.

2. Kecepatan

Kecepatan gerak harmonik sederhana dapat ditentukan dari turunan persamaan simpangan.

y = A. sin 2π (ω + θ₀)

v_y = ω . A . cos (ωt + θ₀)

(4)

Kecepatan gerak harmonik sederhana akan berharga maksimum jika fungsi cosinus bernilai maksimum, yaitu satu, sehingga:

v_maks = ω . A

(5)

Dari persamaan (4) kecepatan gerak harmonik dapat dinyatakan sebagai berikut:

sin² (ωt + θ₀) + cos² (ωt + θ₀) = 1, maka

sehingga persamaan (4) menjadi:

karena:

y = A . sin( ωt + θ₀ ) , maka:

(6)

3. Percepatan

Percepatan pada gerak harmonik sederhana dapat ditentukan dari turunan pertama persamaan kecepatan atau turunan kedua dari persamaan simpangan.

a_y = -ω² . A . sin (ωt + θ₀)

(7)

kerena A . sin (ωt + θ₀) = y, maka:

a_y = -ω² y

(8)

Percepatan akan bernilai maksimum jika fungsi sinus bernilai maksimum, yaitu satu, sehingga persamaan (5) menjadi:

a_maks = -ω² . A

(9)

Tanda negatif pada persamaan (7) dan (8) menunjukkan bahwa percepatan berlawanan dengan arah simpangannya.

4. Energi Gerak Harmonik Sederhana

Benda yang melakukan gerak harmonik sederhana memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah energi potensial dan energi kinetik disebut energi mekanik. Besarnya energi potensial adalah energi yang dimiliki gerak harmonik sederhana karena simpangannya. Secara matematis dituliskan:

E_p = 1/2 ky²

Karena: y = A.sin ωt , maka:

E_p = 1/2 k . A² . sin² ωt

(10)

Energi kinetik adalah energi yang dimiliki oleh benda yang melakukan gerak harmonik sederhana karena kecepatannya. Secara matematis dituliskan:

Ek = 1/2 m.v²

Ek = 1/2 m.ω^{2 .}. A² . cos² ωt

kerena mω² = k, maka:

Ek = 1/2 k^{2 .}. A² . cos² ωt

(11)

Besarnya energi mekanik adalah:

Em = Ep + Ek

Em = 1/2 k . A² . sin² ωt + 1/2 k^{2 .}. A² . cos² ωt

Em = 1/2 k^{2 .}. A² . (sin² ωt + cos² ωt)

karena sin² ωt + cos² ωt = 1, maka:

Em = 1/2 k . A²

Besarnya energi mekanik dari suatu benda yang melakukan gerak harmonik sederhana adalah tetap, sehingga berlaku kekekalan energi mekanik yang dapat dituliskan:

Em₁ = Em ₂

Ep₁ + Ek₁ = Ep₂ + Ek₂

(12)

Pada gerak harmonik sederhana, energi potensial akan minimum saat simpangannya minimum (y = 0) dan maksimum saat simpangannya maksimum (y = A). Sementara itu, energi kinetik akan minimum saat simpangan maksimum (y = A) dan maksimum saat simpangannya minimum (y = 0).

Energi potensial elastis pegas

Untuk meregangkan pegas sepanjang x diperlukan gaya sebesar F untuk menarik pegas tersebut. Energi potensial pegas adalah besarnya gaya pegas untuk meregangkan sepanjang x. Berdasarkan Hukum Hooke, dapat diketahui grafik hubungan antara gaya F dengan pertambahan panjang x seperti yang terlihat pada gambar berikut:

Grafik gaya terhadap pertambahan panjang.

Besarnya usaha merupakan luasan yang diarsir.

Ep = W = luas ΔOAB = 1/2 F . sx

karena F = k . x, maka:

Ep = 1/2 (k . x)x

Ep = 1/2 k . x²

(13)

dengan:

Ep = energi potensial pegas ( J)

k = konstanta gaya pegas (N/m)

x = pertambahan panjang pegas (m)