Contoh Soal tentang Besaran dan Sistem Satuan

1. Tentukan dimensi dan satuan dari besaran-besaran ini menurut Sistem Internasional.

a. Volume (V)

b. Kecepatan (v)

c. Percepatan (a)

d. Gaya (F)

e. Momentum (p)

Jawab

Besaran-besaran di atas merupakan besaran turunan, oleh karenanya dimensi dan satuannya dapat diturunkan dari besaran pokok menurut Sistem Internasional

a. Volume = panjang x lebar x tinggi

Dimensi dari volume dituliskan sebagai [ V ]

[ V ] = [ panjang ] x [ lebar ] x [ tinggi ]

[ V ] = L . L . L = L³

Jadi, satuan dari volume (V) = m . m . m = m ³

b. Kecepatan (v)

Dengan cara yang sama pada jawaban (a) di atas, maka satuan dari kecepatan v = ms ^-1

c. Percepatan (a)

Satuan dari percepatan a = m s^-2

d. Gaya (F)

= massa x percepatan

= [ massa ] x [ percepatan ]

= M . L T^-2

Satuan F = kg m s^-2

e. Momentum (p)

= m x v

= [ m ] [ v ]

= M . L T ^-1

Satuan p = kg m s^-1

2. Buktikan bahwa besaran energi (E = 1⁄2 mv² ) mempunyai dimensi sama dengan usaha W = F s, dengan m, v, F, dan s berturut-turut massa, kecepatan, gaya, dan perpindahan.

Jawab

Energi (E) mempunyai dimensi massa dikali dengan kuadrat dimensi kecepatan. Pada contoh 1, sudah kita ketahui bahwa dimensi massa adalah M dan dimensi laju L.T^-1. Oleh karena itu dimensi dari Energi [E] adalah :

[ E ] = M L 2 T -2

Dimensi kerja

[ W ] = [ F ] [ s ]

Gaya mempunyai dimensi massa M dikali dimensi percepatan, LT^-2 dan perpindahan mempunyai dimensi panjang L. Oleh karena itu, dimensi dari usaha (W) adalah:

[ W ] = [ F ] [ s ]

= MLT^-2 L

= ML² T ^-2

Karena dimensi Energi (E) sama dengan dimensi usaha (W) maka dikatakan energi dan usaha mempunyai kesamaan

3. Hubungan antara kecepatan, perpindahan serta percepatan dari suatu benda yang melakukan gerak lurus berubah beraturan adalah :

v² = v_o² + 2 a s

dengan v dan v_o adalah kecepatan, a adalah percepatan serta s perpindahan. Buktikan bahwa secara dimensional, persamaan tersebut benar.

Jawab

Dimensi ruas kiri adalah

[v]² = (LT ^-1)

= L² T^-2

Ruas kanan terdiri atas dua suku yaitu v_o² dan 2 a s, masing-masing mempunyai dimensi

[v_o ]² = [LT^-1]

= L² T ^-2

[2 a s] = [a] [s]

= LT² L

= L² T²

Kedua suku pada ruas kanan mempunyai dimensi yang sama. Oleh karena itu kedua suku secara fisik dapat dijumlahkan. Dari analisis dimensional tersebut, terbukti bahwa persamaan tersebut benar secara dimensional.

4. Bila ada sebuah bola kecil yang dijatuhkan ke dalam suatu cairan, maka bola tersebut akhirnya akan bergerak di dalam cairan tersebut dengan kecepatan yang konstan. Besar gaya gesek (F) pada bola tersebut sebanding dengan lajunya (v) dan sebanding dengan jari-jari bola (r). Secara matematis dapat dituliskan dengan : F = K.r.v, dan K merupakan konstanta pembanding. Tentukan dimensi dan satuan dari K.

Jawab

Bila rumus tersebut secara fisik benar, maka dimensi dari ruas kiri sama dengan dimensi ruas kanan. Pada rumus di atas, kita telah mengetahui dimensi, maupun satuan dari F, r, dan v dengan demikian kita dapat dengan mudah mengetahui dimensi maupun satuan untuk K.

K = F (r v) ^-1

= MLT^-2 L^-1 (LT^-1 )^-1

= MLT ^-2 L^-1 L^-1 T

= ML ^-1 T ^-1

Jadi satuan dari K = kg m ^-1 s ^-1

5. Jika cepat rambat bunyi di suatu medium v hanya bergantung pada tekanan udara p dan kerapatan massa medium ρ. Tentukan rumus dari cepat rambat bunyi tersebut.

Jawab

Jika v hanya bergantung pada p dan ρ maka rumus cepat rambat bunyi dapat ditulis sebagai:

v ~ p ^α ρ ^β

Tanda ~ merupakan tanda sebanding. Tanda tersebut harus diganti dengan tanda =, oleh karena itu ruas kanan harus dikalikan dengan suatu konstanta K. rumus tersebut menjadi

v = K p ^α ρ ^β

Untuk memudahkan, dimisalkan konstanta K tidak mempunyai dimensi dan tidak mempunyai satuan. Persamaan di atas benar secara dimensional jika ruas kiri dan kanan mempunyai dimensi yang sama. Konstanta α dan β dapat dicari dengan menyamakan dimensi ruas kiri dan kanan.

[v] = [K p^α ρ^β ] = [K] [p]^α [ρ]^β

Ruas kiri:

[v] = LT -1

Ruas kanan:

[K] = - (tidak mempunyai dimensi)

[p]^α = (ML ^-1 T ^-2 )^α = M^α L^-α T^-2α

[ρ]^β = (ML^-3 )^β = M^β L^-3β

Dimensi ruas kanan:

[K] [p]^α [ρ]^β = M^α+β L ^{α + 3β} T ^-2α

Dimensi ruas kiri disamakan dengan ruas kanan dan menyamakan pangkatnya, akan kita peroleh

[v] = [K] [p]^α [ρ]^β

LT ^-1 = M^α+β L^{-α + 3β} T^-2α

M⁰ LT^-1 = M^α+β L^{-α + 3β} T ^2α

Dan

0 = α + β

1 = -α + 3β

-1 = -2α

Dari ketiga persamaan di atas diperoleh α = 1⁄2; β = -1⁄2, sehingga rumus kecepatan menjadi

v = K p 1/2 ρ -1/2

=

Contoh Soal tentang Besaran dan Sistem Satuan ini saya sampaikan, semoga bermanfaat ...